Эквивалентное сопротивление. Метод эквивалентных преобразований Метод эквивалентных преобразований для расчета электрических цепей

Этот метод применим либо к отдельным участкам сложной электрической цепи, либо к электрической цепи, в которой действует один источник. Проведя по определенным правилам эквивалентные преобразования, можно свести электрическую цепь к виду:

Зависит от способа соединения пассивных элементов.

Самостоятельно!!! Рассмотреть: последовательное, параллельное, смешанное соединение и соединения «треугольником» и «звездой».

План каждого соединения:

– схема соединения;

– основные свойства этого соединения;

– формулы эквивалентных преобразований;

– пример.

1. Волынский В.А. и др. «Электротехника», 1987 г. (С. 37-41);

2. Электротехника под ред. В. Г. Герасимова. С. 22-27.;

3. Касаткин «Электротехника».

В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (источники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существует четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, «треугольником», «звездой» и смешанное.

1. Последовательным называется соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соединении n пассивных элементов цепи. Схема замещения с n резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одни резистивным элементом.

Например:

2. Параллельным называется соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, то есть находятся под воздействием одного и того же напряжения.

Рис. Схема замещения цепи с параллельным соединением пассивных элементов и ее эквивалентная схема

Ток в каждой ветви определяется напряжением и сопротивлением:

.

Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен току в неразветвленной части цепи, то есть .

В результате получаем:

,

из которой получают формулу для эквивалентного сопротивления:

или для эквивалентной проводимости:

Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости:

поэтому оно всегда меньше наименьшего из сопротивления цепи.

Если параллельно соединены n ветвей с одинаковыми сопротивлениями R , то их эквивалентное сопротивление будет в n раз меньше сопротивления каждой ветви, то есть .

Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках.

3. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.

Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.

Между узлами a и b включены 3 резистивных элемента с сопротивлениями , и .

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением

получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивным элементов и .

Ток в неразветвленной части: .

Токи в параллельных ветвях:

4. В некоторых сложных электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести к вышеперечисленным. Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь.

Рис. Схема замещения мостовой цепи и ее эквивалентная схема

В этом случае часть цепи образует «треугольник», вершинами которого являются три узла (a , b , c ), а сторонами – три ветви с сопротивлениями , , , включенных между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединенных «треугольником», тремя ветвями, соединенными трехлучевой «звездой». При замене соединения «треугольником» ветвей с сопротивлениями , , ветвями с сопротивлениями , , , соединенных «звездой», мостовая цепь преобразовывается в цепь с последовательным и параллельным соединением элементов.

Для определения сопротивления , , ветвей, соединенных «звездой», необходимо найти соотношения, связывающих их с сопротивлениями ветвей, соединенных «треугольником». С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которым напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в точности при размыкании ветвей, присоединенных к узлам a , b , c .

При отсоединении ветви с сопротивлением от узла a токи , а также напряжение равны соответствующим токам и и напряжению в схеме (б), то есть сопротивления между точками b и c для обеих схем (а) и (б) одинаковы.

2. Метод преобразования (свертки) схемы

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J ), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле-менту R Э (рис. 7).

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про-водится в не-сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы определяется ток источника по закону Ома: . Токи в ос-тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об-ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова-тельного преобразования (свертки) схемы.
При применении данного метода возможны следующие виды преобразо-ваний.
1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8). Несложно доказать, что при этом справедливы следующие соотношения:
и

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен-тов, вклю-чен-ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9). Несложно доказать, что при этом справедливы следующие соотношения:
и
Для двух элементов: и


3) Взаимное преобразование схем звезда -треугольник (рис. 10) возни-кает при свертке сложных схем.
Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I 1, I 2, I 3), на-пряжений (U 12, U 23, U 31) и входных сопротивлений (R 12, R 23, R 31) и соответственно входных проводимостей (G 12, G 23, G 31).
Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

(1)
(2)
(3)

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:
, по аналогии: , .
Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ-вольной вер-шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):
(4)
(5)
(6)
Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:
, по аналогии: , .
В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле-ния , получим:
; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви-валентных схем составляет:.
4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу-ществляется со-гласно теореме об эквивалентном генераторе.

Преобразования называются эквивалентными, если при замене одного участка цепи другим, более простым, токи и напряжения участка цепи, который не был преобразован, не изменяются.

При расчете электрических схем часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем, применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений – последовательного и параллельного.

Последовательное соединение

Последовательное соединение элементов цепи – соединение нескольких элементов, через которые проходит один и тот же ток.

Рисунок 3.1 Схемы последовательного соединения резисторов и индуктивностей

В соответствии с принципом эквивалентного преобразования и законом Ома имеем:

Параллельное соединение элементов

Параллельное соединение элементов – соединение нескольких элементов, при котором все эти элементы находятся под одним и тем же напряжением.

Рисунок 3. 2 Схема параллельного соединения сопротивлений

Рассмотрим параллельное соединение двух сопротивлений. В соответствии с для участка цепи с , (на вышеприведенном рисунке), . Поскольку

.

Найдем ток в каждой из параллельных ветвей , если известен общий ток и значения сопротивлений . По закону Ома ; . Тогда:

.

Полученное выражение является формулой распределения токов: ток в одной из параллельных ветвей равен общему току, умноженному на сопротивление противоположной ветви и поделенному на сумму сопротивлений обеих ветвей.

Рисунок 3.3 Схема параллельно-последовательного соединения сопротивлений

Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно.

Если известны сопротивления , которые образуют между узлами треугольник сопротивлений, то для расчета сопротивлений , которые соединены в эквивалентную звезду между теми же самыми узлами, используют формулы:

; ; . (3.5)

Рисунок 3.4 Схемы соединения сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)

Обратное преобразование осуществляется при помощи формул:

; ; (3.6)

Эквивалентные преобразования схем с источниками.

Закон Ома для участка цепи с источником.

Рассмотрим понятие одноконтурной и двухузловой схем.

Эти схемы характерны тем, что имеют один контур (рисунок 3.5) и один независимый контур (рисунок 3.6) соответственно.

Рисунок 3.5 Одноконтурная схема Рисунок 3.6 Двухузловая схема

Найдем ток в первой схеме. Обозначим напряжение между точками и : . Тогда для двух условных контуров получим два уравнения:

;

Из первого уравнения получаем закон Ома для участка цепи с источником напряжения:

Реальные источники электрической энергии и их эквивалентные схемы.

Реальный источник напряжения – активный элемент, который можно представить в виде идеального источника напряжения и последовательно соединенного с ним пассивного элемента , (внутреннего сопротивления), которое учитывает потери энергии в источнике (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 Схема реального источника напряжения

По закону Кирхгофа можно записать , откуда получаем выражение для вольт - амперной характеристики реального источника напряжения: .

Штриховой линией показана ВАХ идеального источника напряжения: .

Рисунок 3.8 Вольт-амперная характеристика реального источника напряжения

Выясним, при каких условиях реальный источник приближается к идеальному. Найдем напряжение на зажимах реального источника, к которому подключается сопротивление нагрузки (рисунок 3.7)

(3.7)

Из уравнения 3.7 видно, что источник напряжения можно рассматривать как идеальный , если выполняется условие .

Реальный источник тока – активный двухполюсник, который состоит из идеального источника тока и параллельного включенного с ним пассивного элемента , который учитывает потери (рисунок 3.9).

Рисунок 3.9 Схема реального источника тока

В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать:

Это выражение описывает ВАХ реального источника тока (рисунок 3.10). Штриховой линией показана ВАХ идеального источника тока:

Рисунок 3.10 Вольт-амперная характеристика реального источника тока

Найдем ток в сопротивлении нагрузки, которая подключена к реальному источнику тока (рисунок). По формуле разложения токов

. (3.8)

Исходя из формулы (3.8), реальный источник тока приближается к идеальному при условии R i >> R H .

Некоторые схемы реальных источников напряжения (рисунок 3.7) и тока (рисунок 3.9) эквивалентны. Выясним, при каких условиях? В соответствии с принципом эквивалентных преобразований, напряжение во внешней цепи (т.е. на опорной нагрузке) не может измениться при переходе от схемы (рисунок 3.7) к схеме (рисунок 3.9): U = U`.

Для первой схемы:

,

Для второй:

,

если U=U`, то

. (3.9)

Итак, схемы реальных источников напряжения и тока эквивалентны, если выполняются условия (3.9).

После изучения подразделов 3.1 и 3.2 дайте письменные ответы на контрольные вопросы, приведенные ниже.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

Расчет электрической цепи с использованием законов Кирхгофа. Баланс мощностей

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

Произвольно назначают направления токов в ветвях.

Произвольно назначают направления обхода контуров.

Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У - число узлов в цепи).

Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В - число ветвей в цепи).

Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей . В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".

Метод контурных токов

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов . Основой для него служит второй закон Кирхгофа.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом

R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом

R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R12=R21=R4=25 Ом

R23=R32=R6=35 Ом

R31=R13=R5=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру . То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Метод эквивалентных преобразований

Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R1 и R2 к одному эквивалентному Rэкв.Эквивалентные преобразования в электрической цепи Для определения эквивалентного сопротивления Rэкв следует воспользоваться основными законами электрических цепей. Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока и напряжения рассматриваемого участка: I = Iэкв, U = Uэкв. Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов: U = U1 + U2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I . Для эквивалентного элемента по закону Ома: Uэкв = Rэкв* Iэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования U = Uэкв = (R1 + R2)I = (R1 + R2)Iэкв = Rэкв* Iэкв. Отсюда Rэкв = (R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам. Для двух параллельно соединенных элементов по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов: I = I1 + I2 = U/R1 + U/R2 = U(1/R1 + 1/R2). Для эквивалентного элемента по закону Ома: Iэкв = Uэкв/Rэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования I = Iэкв = U(1/R1 + 1/R2) = Uэкв(1/R1 + 1/R2) = Uэкв/Rэкв, отсюда 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 (1.59) или Rэкв = (R1 R2)/(R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам. Соотношения позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи. При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R1, R2, R3) расчет может быть проведен методом эквивалентных преобразований следующим образом. На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R1 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв12, равным Rэкв12 = (R1* R2)/(R1 + R2). (1.61) При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора Rэкв12 и R3, соединенные последовательно. Напряжение Uab в эквивалент- ной цепи соответствует напряжению Uab в исходной цепи, а ток в эквивалент- ной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи. На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора Rэкв12 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв123, равным Rэкв123 = Rэкв12 + R3 . При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор Rэкв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи и определяется по закону Ома: I = Uac/ Rэкв123 = E/ Rэкв123 . Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке. Для эквивалентной цепи: Uab = I* Rэкв12 ; Ubc = I* R3 . Для исходной цепи: I1 = Uab/R1 ; I2 = Uab/R2 .Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС

Расчет сложной цепи очень часто упрощается, если в схеме ее замещения провести соответствующие эквивалентные преобразования, приводящие к существенному упрощению конфигурации этой схемы. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся, простые соединения элементов цепей: последовательное, параллельное и смешанное.

Последовательное соединение элементов

Если имеется группа последовательно соединенных элементов R 1 , R 2 ,…R n (Рис. 2.3, а ), то ее всегда можно представить в видеодного элемента (Рис. 2.3, б ), у которого

R Э = R 1 + R 2 + …+ R n .. (2.20)

Условием эквивалентности замены, здесь и в дальнейшем, является то, что такая замена не влияет на ток и напряжение на внешних зажимах данного участка схемы.

Параллельное соединение элементов

Если имеется группа параллельно соединенных элементов R 1 , R 2 ,…R n (Рис. 2.4, а ), то ее всегда можно представить в виде одного элемента (Рис. 2.4, б ), у которого

, где (2.21)

Для двух параллельно соединенных элементов выражение (2.21) примет вид:

Смешанное соединение элементов

Если в схеме цепи имеется группа элементов, в которой элементы соединены последовательно и параллельно (Рис. 2.5), то ее также можно привести к одному элементу, используя поэтапно преобразования (2.20) и (2.21).

Метод наложения

Данный метод (Рис 2.6) основан на свойствах линейных цепей, которые подчиняются принципу суперпозиции (наложения решений). Это связано с тем, что для линейной цепи параметры ее элементов не зависят от действующих в них токов и напряжений. Если в линейной цепи действуют несколько ЭДС, то ток в любой ветви данной цепи может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности.

При определении частичных слагающих токов и следует считать включенными внутренние сопротивления тех источников, ЭДС которых исключаются. Если в схеме остается один источник (Рис 2.6, б, с ), к ней применимы преобразования, изложенные выше. Искомый ток в результате определяется как сумма частных токов, то есть .